Калькулятор площади и периметра фигур
• Прямоугольник: P = 2(a+b), S = a•b
• Квадрат: P = 4a, S = a²
• Треугольник: P = a+b+c, S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) — Герон, p = P/2
• Круг: L = 2πr, S = πr²
• Ромб: P = 4a, S = a•h или S = ½•d₁•d₂
• Трапеция равноб.: P = a+b+2c, S = ½(a+b)•h, h = √(c² − ((a−b)/2)²)
• Параллелограмм: P = 2(a+b), S = a•h
Пример: прямоугольник 8×5 см → P = 26 см, S = 40 см².
Площадь и периметр — две базовые величины в геометрии, которые нужны и школьнику для задачи, и взрослому для ремонта или разметки участка. Периметр — это длина всех сторон фигуры, а площадь — сколько места фигура занимает внутри. Ниже — все формулы, примеры и таблицы, чтобы вы могли посчитать всё сами.
Периметр и площадь прямоугольника
Прямоугольник — самая частая фигура в задачах и в быту. Формулы простые:
- периметр: P = 2 × (a + b);
- площадь: S = a × b.
Пример: комната 8 × 5 метров. Периметр — 2 × (8 + 5) = 26 м. Площадь — 8 × 5 = 40 м². Если известна площадь 40 м² и одна сторона 5 м, вторую находим делением: 40 / 5 = 8 м.
Иногда в задачах дают периметр и просят найти площадь. Например, периметр прямоугольника равен 20, а одна сторона 6. Тогда: 20 / 2 = 10 (сумма сторон), 10 − 6 = 4 (вторая сторона), S = 6 × 4 = 24.
Площадь и периметр квадрата
Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, поэтому формулы ещё короче:
- периметр: P = 4 × a;
- площадь: S = a².
Если сторона квадрата 3 см, то периметр — 12 см, площадь — 9 см². Если периметр квадрата 40, сторона равна 40 / 4 = 10, а площадь — 10² = 100. Обратный ход: площадь квадрата 100 см², сторона — √100 = 10 см, периметр — 40 см.
Периметр и площадь треугольника
Периметр треугольника — сумма трёх сторон: P = a + b + c. С площадью сложнее — формула зависит от того, что известно:
- если знаете основание и высоту: S = ½ × a × h;
- если известны все три стороны — формула Герона: S = √(p × (p−a) × (p−b) × (p−c)), где p = P/2 (полупериметр);
- для прямоугольного треугольника: S = ½ × катет × катет;
- для равностороннего со стороной a: S = (a² × √3) / 4.
Пример по Герону: стороны 3, 4, 5. Периметр — 12, полупериметр — 6. S = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. Кстати, это классический прямоугольный треугольник, и через катеты получаем то же самое: ½ × 3 × 4 = 6.
Площадь и периметр круга
У круга нет углов, поэтому «периметр» называется длиной окружности:
- длина окружности: L = 2 × π × r (или π × d);
- площадь круга: S = π × r².
Число π округляют до 3,14. Пример: радиус 5 см. Длина — 2 × 3,14 × 5 = 31,4 см. Площадь — 3,14 × 25 = 78,5 см².
Площадь и периметр ромба
У ромба все стороны равны, поэтому периметр как у квадрата: P = 4 × a. Площадь считают тремя способами:
- через сторону и высоту: S = a × h;
- через диагонали: S = ½ × d₁ × d₂;
- через сторону и угол: S = a² × sin(α).
Пример: периметр ромба 12, значит сторона 3. Если угол между сторонами 30°, площадь = 3² × 0,5 = 4,5. Если известны диагонали 6 и 8, площадь = ½ × 6 × 8 = 24.
Периметр и площадь трапеции
У трапеции две параллельные стороны (основания) a и b, и две боковые. Формулы:
- периметр: P = a + b + c + d (сумма всех сторон);
- площадь: S = ½ × (a + b) × h, где h — высота.
Для равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а высоту можно найти по теореме Пифагора: h = √(c² − ((a − b) / 2)²).
Пример: основания 10 и 6, боковая сторона 5. Разница оснований / 2 = 2. Высота: √(25 − 4) = √21 ≈ 4,58. Площадь: ½ × (10 + 6) × 4,58 ≈ 36,6. Периметр: 10 + 6 + 5 + 5 = 26.
Готовые значения для квадратов и прямоугольников
Чтобы быстро свериться в задачах, держите таблицу с популярными размерами:
| Фигура | Размеры | Периметр | Площадь |
|---|---|---|---|
| Квадрат | сторона 2 см | 8 см | 4 см² |
| Квадрат | сторона 3 см | 12 см | 9 см² |
| Квадрат | сторона 4 см | 16 см | 16 см² |
| Квадрат | сторона 5 см | 20 см | 25 см² |
| Квадрат | сторона 6 см | 24 см | 36 см² |
| Квадрат | сторона 8 см | 32 см | 64 см² |
| Квадрат | сторона 10 см | 40 см | 100 см² |
| Прямоугольник | 3 × 5 см | 16 см | 15 см² |
| Прямоугольник | 4 × 6 см | 20 см | 24 см² |
| Прямоугольник | 5 × 8 см | 26 см | 40 см² |
| Прямоугольник | 6 × 9 см | 30 см | 54 см² |
| Прямоугольник | 7 × 12 см | 38 см | 84 см² |
| Прямоугольник | 10 × 15 см | 50 см | 150 см² |
| Прямоугольник | 8 × 20 см | 56 см | 160 см² |
Как найти площадь, если известен периметр
Тут важно, о какой фигуре речь. Один периметр может дать разную площадь у разных прямоугольников. Например, периметр 20:
- стороны 1 и 9: площадь 9;
- стороны 3 и 7: площадь 21;
- стороны 5 и 5 (квадрат): площадь 25.
Отсюда правило: при одинаковом периметре максимальная площадь получается у квадрата. Поэтому, если задача звучит как «найдите наибольшую площадь при периметре N», делите его на 4 и возводите в квадрат.
Для квадрата же обратная задача решается легко: если периметр P, то сторона = P/4, а площадь = (P/4)². Например, при P = 24: сторона 6, площадь 36.
Задачи из школьной программы
Разберём типичные примеры, которые встречаются в учебниках 3–5 класса:
- периметр квадрата 36 см — сторона 9, площадь 81 см²;
- площадь прямоугольника 12, стороны 3 и 4 — периметр 14;
- периметр ромба 48 — сторона 12; при известной второй диагонали посчитать через формулу диагоналей;
- периметр треугольника 18 при сторонах 5, 6, 7 — площадь по Герону ≈ 14,7.
Полезный лайфхак для контрольных: если периметр и площадь фигуры равны числу (например, обе равны 16), это часто квадрат 4×4 или прямоугольник со сторонами, дающими это совпадение.
Единицы измерения и переводы
С площадью часто путают единицы. Запомните базовые переводы:
- 1 м² = 10 000 см²;
- 1 см² = 100 мм²;
- 1 сотка = 100 м²;
- 1 гектар = 10 000 м² = 100 соток;
- 1 км² = 1 000 000 м².
С периметром проще — там линейные единицы: 1 м = 100 см = 1000 мм. Всегда следите, чтобы стороны были в одной размерности, иначе получите бессмысленный результат.
Считать площадь и периметр — навык, который пригождается везде: от школьной геометрии до планирования грядок на даче и подсчёта плитки для санузла. Держите формулы под рукой, а для сложных фигур используйте калькулятор — так меньше шансов ошибиться в арифметике.