Калькулятор хорды, радиуса и угла окружности
Калькулятор находит длину хорды окружности по радиусу и центральному углу, радиус по хорде, центральный угол, расстояние от центра до хорды и радиус по высоте сегмента.
Что такое хорда, радиус и диаметр
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Обычно радиус обозначают буквой R.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр в два раза больше радиуса:
D = 2R
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Самая длинная хорда — диаметр.
Основные свойства:
- диаметр — самая длинная хорда окружности;
- перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит хорду пополам;
- равные хорды расположены на одинаковом расстоянии от центра;
- чем ближе хорда к центру, тем она длиннее.
Как найти длину хорды по радиусу
Если известны радиус R и центральный угол α, который опирается на хорду, используйте формулу:
c = 2R × sin(α / 2)
Здесь c — длина хорды, R — радиус, α — центральный угол в градусах.
Пример: радиус окружности равен 13, центральный угол равен 60°.
c = 2 × 13 × sin(60° / 2)
c = 26 × sin(30°)
c = 26 × 0,5 = 13
Длина хорды равна 13 единицам.
Хорда равна радиусу окружности: какой угол
Если хорда равна радиусу окружности, она стягивает меньшую дугу величиной 60°. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен 60°.
Это следует из треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Все три его стороны равны, поэтому треугольник равносторонний, а каждый его угол равен 60°.
Расчёт через формулу хорды:
c = 2R × sin(α / 2)
При c = R:
R = 2R × sin(α / 2)
1 = 2 × sin(α / 2)
sin(α / 2) = 0,5
α / 2 = 30°
α = 60°
Вписанный угол, опирающийся на ту же меньшую дугу, в два раза меньше центрального и равен 30°.
Как найти радиус по хорде
Если известны длина хорды c и центральный угол α, радиус рассчитывают по формуле:
R = c / [2 × sin(α / 2)]
Пример: длина хорды равна 13, центральный угол равен 60°.
R = 13 / [2 × sin(30°)]
R = 13 / (2 × 0,5)
R = 13
Радиус окружности равен 13 единицам.
Если угол неизвестен, одной длины хорды для нахождения радиуса недостаточно. Одинаковая по длине хорда может быть проведена в окружностях разных радиусов.
Радиус по хорде и высоте сегмента
Если известны длина хорды c и высота сегмента h, применяют формулу:
R = c² / (8h) + h / 2
Высота сегмента — расстояние от середины хорды до дуги по перпендикуляру к хорде.
Пример: длина хорды равна 10, высота сегмента равна 2.
R = 10² / (8 × 2) + 2 / 2
R = 100 / 16 + 1
R = 6,25 + 1 = 7,25
Радиус окружности равен 7,25 единицам.
Расстояние от центра окружности до хорды
Если известны радиус R и длина хорды c, расстояние d от центра окружности до хорды находят по теореме Пифагора:
d = √[R² − (c / 2)²]
Пример: радиус равен 13, длина хорды равна 13.
d = √[13² − (13 / 2)²]
d = √(169 − 42,25)
d = √126,75 ≈ 11,26
Расстояние от центра окружности до хорды равно примерно 11,26 единицам.
Основные формулы для хорды окружности
| Что известно | Что найти | Формула |
|---|---|---|
| Радиус R и центральный угол α | Длину хорды c | c = 2R × sin(α / 2) |
| Хорда c и центральный угол α | Радиус R | R = c / [2 × sin(α / 2)] |
| Хорда c и радиус R | Центральный угол α | α = 2 × arcsin(c / 2R) |
| Хорда c и радиус R | Расстояние от центра до хорды d | d = √[R² − (c / 2)²] |
| Хорда c и высота сегмента h | Радиус R | R = c² / (8h) + h / 2 |
| Радиус R | Диаметр D | D = 2R |
Примеры расчётов
| Радиус R | Центральный угол α | Длина хорды c | Пояснение |
|---|---|---|---|
| 5 | 60° | 5 | Хорда равна радиусу. |
| 13 | 60° | 13 | Хорда равна радиусу окружности. |
| 13 | 90° | ≈ 18,38 | Хорда больше радиуса. |
| 13 | 120° | ≈ 22,52 | Хорда близка к диаметру. |
| 13 | 180° | 26 | Хорда является диаметром. |
Проверка правильности ответа
Перед расчётом проверьте условия:
- длина хорды не может быть больше диаметра: c ≤ 2R;
- центральный угол для меньшей дуги должен быть больше 0° и не больше 180°;
- если хорда равна радиусу, центральный угол составляет 60°;
- если хорда является диаметром, расстояние от неё до центра равно 0.
Калькулятор хорды и радиуса помогает быстро проверить решение геометрической задачи, найти длину хорды окружности радиусом 5 или 13, определить угол, диаметр и расстояние от центра до хорды.